***SISTEMAS DE NUMERACIÒN (AUDIO)***ESCUCHAR:
SISTEMAS DE NUMERACIÓN:DECIMAL, BINARIO, OCTAL Y HEXADECIMAL.
JOCELYN RODRÌGUEZ ESTRADA
Se compone de 10 símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9, a los que se les otorga un valor dependiendo el lugar que ocupe en la cifra. El valor de cada dígito esta asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos ò digitos del sistema decimal.
SISTEMAS DE NUMERACIÒN
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Este sistema se compone de 10 símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 a los que otorga un valor dependiendo la posición que ocupe en la cifra.
El valor de cada dígito esta asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y una exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno contando desde la derecha.
SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
En este sistema solo se utilizan dos dígitos el 0 y el 1. En la cifra binaria cada uno tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno.
SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL
En este sistema los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0,1,2,3,4,5,6,7 cada dígito tiene naturalmente un valor distinto dependiendo del lugar que ocupe. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.
SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL
Los números se representan con 16 símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F se utilizan los caracteres A,B,C,D,E,F representando los números 10,11,12,13,14,15 respectivamente porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal.
CONVERSIONES DEL SISTEMA BINARIO A DECIMAL
El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal ; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.
11011001 BASE 2= 217 BASE 10
8 EXP 0*2= 2
235/16= 14 RESIDUO 11
14 ES IGUAL A E Y 11 IGUAL A B
ABC BASE 16= 2748 BASE 10
12*16 EXPO 0 = 12
11*16 EXPO 1 = 176
10*16 EXPO 2 = 2560
1*2 EXP 0=1
0*2 EXP 1=0
0*2 EXP 2= 0
1*2 EXP 3= 8
1*2 EXP 4= 16
0*2 EXP 5= 0
1*2 EXP 6= 64
1*2 EXP 7= 128
CONVERSIONES DEL SISTEMA DECIMAL A BINARIO
Convertir un número decimal al sistema binario: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.
122 BASE 10 = 1111010 BASE 2
122/2= 61 RESIDUO 0
61/2=30 RESIDUO 1
30/2=15 RESIDUO 0
15/2=7 RESIDUO 1
7/2=3 RESIDUO 1
3/2=1 RESIDUO 1
61/2=30 RESIDUO 1
30/2=15 RESIDUO 0
15/2=7 RESIDUO 1
7/2=3 RESIDUO 1
3/2=1 RESIDUO 1
PARA PONER EL RESULTADO EN BASE 2, PRIMERO SE PONE EL RESULTADO DE LA ULTIMA DIVISIÓN, Y SE PONEN LOS RESIDUOS DE ABAJO HACIA ARRIBA.
CONVERSIONES DEL SISTEMA DECIMAL A OCTAL
La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso.
122 BASE 10 = 0172 BASE 8
122/8= 15 RESIDUO 2
15/8= 1 RESIDUO 7
1/8=0 RESIDUO 1
PARA PONER EL RESULTADO EN BASE 8, PRIMERO SE PONE EL RESULTADO DE LA ULTIMA DIVISIÓN, Y SE PONEN LOS RESIDUOS DE ABAJO HACIA ARRIBA.
CONVERSIÓN DEL SISTEMA OCTAL A DECIMAL
La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal.
12 BASE 8 = 10 BASE 10 8 EXP 1*1= 8
CONVERSIÓN DEL SISTEMA DECIMAL A HEXADECIMAL
La conversión de un número decimal a hexadecimal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 16 y colocando los restos obtenidos en orden inverso.
235 BASE 10= EB BASE 16235/16= 14 RESIDUO 11
14 ES IGUAL A E Y 11 IGUAL A B
CONVERSIÓN DEL SISTEMA HEXADECIMAL A DECIMAL
El proceso para convertir un número del sistema hexadecimal al decimal ; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 16, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.
ABC BASE 16= 2748 BASE 10
12*16 EXPO 0 = 12
11*16 EXPO 1 = 176
10*16 EXPO 2 = 2560
OPERACIONES ARITMÉTICAS EN BINARIO
Para hacer la suma y la resta en el sistema binario, se deben tener como base las siguientes operaciones:
suma:
0+1=1
1+0=1
1+1= 0 y se lleva uno en la siguiente columna
0+0=0
resta:
0-0=0
1-0=1
1-1=1
0-1= no se puede se pide prestado uno a la siguiente columna
SUMA EN EL SISTEMA BINARIO
La suma en este sistema es igual al del sistema decimal, ejemplo: 10110+01101= 100011
Explicación:
Paso 1. Se deben ordenar los números de derecha a izquierda
10110
+ 01101
_________
100011
Paso 2. Se empieza a hacer la suma utilizando la tabla que se presento al inicio (explicaciòn)
0+1 es igual a 1, se pone el uno al final de esa columna, posteriormente se pasa a hacer la suma de la siguiente operación, 1+0 es igual a 1, de igual forma se pone el 1 al final de la segunda columna, se pasa con la tercera operación,1+1 es igual a 0 y se lleva uno en la siguiente columna, se pasa a hacer la siguiente operación que es 0+1 es igual a 1 + 1 que se llevaba, es 0 y se lleva uno en la siguiente columna, y finalmente se hace la ultima operación 0+1 es igual a 1+1 que se llevaba, es igual a 0automàticamente se baja el 1 y queda así: 100011
RESTA EN EL SISTEMA BINARIO
Para elaborar una resta en el sistema binario se sigue el algoritmo de la resta en el sistema decimal, solamente que aquí nos vamos a basar en la tabla presentada anteriormente.
Ejemplo: 10001-01010=
Explicaciòn: se acomodan los números de derecha a izquierda
10001
10001
- 01010
_______
00111
Posteriormente se empieza a hacer la resta de derecha a izquierda así:
1-0 es igual a 1, se baja el uno al final de la columna, luego se hace la siguiente resta 0-1 no se puede así que le pide la base (2) a la siguiente columna y entonces queda así 2-1 es igual a 1 el 1 se baja , siguiente operación 0-0 pero así no queda ya que como la columna anterior le pidió la base a el minuendo luego se la pagará convirtiendo al sustraendo en 1 y queda de la siguiente forma, 0-1 pero de igual forma no se puede asì que el minuendo le pedira al de al lado su base (2) quedando asì 2-1 es igual a 1, el uno se baja y se continua con la siguiente operaciòn 0-1 pero como la columna anterior le pidio su base, esta se la pagara aumentando 1 al sustraendo quedando asì 0-2, pero no se puede asì que le pedira nuevamente a la columna de al lado su base (2) quedando asì 2-2 es igual a 0, el 0 se baja y se continua con la siguiente operaciòn 1-0 pero como le pidieron su base, ahora se la pagaràn aumentando un 1 a el sutraendo quedando asi 1-1 es igual a 0, el 0 se baja y queda como resultado final 00111.
ALGEBRA DE BOOLE
¿QUÉ ES UNA COMPUERTA LÓGICA?
Una compuerta lógica es un circuito lógico cuya operación puede ser definida por una función del álgebra lógica, cuya explicación no es el objeto de esta obra.
¿QUÉ ES UNA TABLA DE VERDAD?
Se llama tabla de verdad de una función lógica a una representación de la misma donde se indica el estado lógico “1” o “0” que toma la función lógica para cada una de las combinaciones de las variables de las cuales depende.
TIPOS DE COMPUERTAS LÓGICAS
Compuerta lógica AND :
Las puertas lógicas AND (o Y en castellano) son circuitos de varias entradas y una sola salida, caracterizadas porque necesitan disponer de un nivel 1 en todas las primeras para que también la salida adopte ese nivel.
Basta con que una o varias entradas estén en el nivel 0 para que la salida suministre también dicho nivel. Todas las unidades AND o derivadas del AND, deben tener señal simultanea en todas sus entradas para disponer de señal de salida.
Observando el funcionamiento de la unidad AND se comprende fácilmente que las entradas pueden ser aumentadas indefinidamente. Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Compuerta lógica NAND:
La función NO-Y, llamada mas comúnmente NAND es la negación de la función Y (AND) precedente. Así como en una puerta Y se necesita que exista nivel 1 en todas las entradas para obtener el mismo nivel en la salida, en una NAND el nivel de la salida seria 0 en las mismas condiciones. Por el contrario, cuando hay un nivel 0 en alguna de las entradas de una puerta Y la salida esta a nivel 0, mientras que en iguales circunstancias en una puerta NAND el nivel de salida seria 1. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que Es la función AND la que se ha invertido
Compuerta lógica OR :
La función reunión, también llamada O, al traducir su nombre ingles OR, es la que solo necesita que exista una de sus entradas a nivel 1 para que la salida obtenga este mismo nivel. La expresión algebraica de esta función, suponiendo que disponga de dos entradas, es la siguiente : s = a + b. Es suficiente que tenga señal en cualquiera de sus entradas para que de señal de salida (OR). Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Compuerta lógica NOR :
La función NOR consiste en la negación de la O, o sea, asi como esta suministra nivel 1 a su salida si cualquiera de las entradas que posee esta a nivel 1, una puerta NOR se comporta justamente al revés. En la función NOR es suficiente aplicarle una cualquiera de sus entradas para que niegue su salida. la NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de las funciones AND u OR, respectivamente.
CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN Y NEGACIÓN
CONJUNCIÓN
La unión de proposiciones simples da lugar a proposiciones compuestas. Proposiciones compuestas” la conjunción”.
Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra « y », la proposición compuesta resultante se le llama conjunción.
Para la conjunción se utiliza el símbolo lógico ^.
De esta manera, se tiene que la nueva proposición p ^ q se llama conjunción de « p y q ».
Ahora, el valor de verdad, para la conjunción de dos proposiciones cualesquiera, «p y q» será de la siguiente manera:
p ^ q debe ser verdadera, solamente si, tanto p, como q, son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las proposiciones simples es falsa, entonces, el valor de verdad para p ^ q, es falso.
EJEMPLOS:
1.- Si p es la proposición: «1 es un número impar» y q es la proposición: «3 es un número primo», entonces p ^ q será la proposición: «1 es un número impar y 3 es un número primo». En donde se observa que p ^ q su valor de verdad es verdadero, pues tanto p: «1 es un número impar», como q: «3 es un número primo», ambos son verdaderos.
2.- Si p es la proposición: «París está en Francia» y q es la proposición: «2 es un número impar», entonces la proposición: p ^ q será «París está en Francia y 2 es un número impar», donde su valor de verdad es: falso, pues el valor de verdad de q: «París está en Francia», es verdadero, pero el valor de q: «2 es un número impar» es falso.
DISYUNCIÒN
Se emplea la palabra «o» en el sentido inclusivo, como el término y/o.
Una proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q ó ambas».
Simbólicamente se denomina escribiendo p v q .
A esta nueva proposición compuesta se le llama Disyunción, de modo que la proposición p v q se llama disyunción de p y q.
El valor de verdad de la proposición compuesta p v q cumple la condición siguiente:
Si p es verdadero ò q es verdadero, entonces p v q es verdadero; en cualquier otro caso p v q es falso. Es decir la disyuncion de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposiciòn es falsa.
EJEMPLOS
1.- Si p es la proposición «2 es un número par» y q es la proposición «3 es un número primo», entonces la disyunción p v q será la proposición «2 es un número par o 3 es un número primo».Donde el valor de la disyunción es verdadero pues tanto p y q son ambas verdaderas.
2.- Si p es la proposición «2 < 3» y q es la proposición «4 es un número primo». Entonces la disyunción p v q es la proposición: «2 < 3 o 4 es un número primo». Donde el valor de verdad de p v q es verdadero, pues p «2 < 3» es verdadero, y q «4 es un número primo» es falso.
Con esto se observa: si al menos una de las proposiciones que forman la disyunción p v q es verdadera, entonces el valor de la disyunción es verdadera.
3.- Si p es: «París se encuentra en Inglaterra» y q es: «2 + 2 = 5», luego entonces el valor de la disyunción p v q será falso, pues tanto p como q, ambas son falsas.
NEGACIÒN
Si p es una proposición fundamental, de ésta se puede formar otra proposición, que se le llama Negación de p, escribiendo: «Es falso que» antes de p, ó, cuando es posible, se inserta en p la palabra «No».
Simbólicamente se denota a la negación por ~p, aunque existen varias maneras de hacerlo, algunos autores usan las notaciones para la negación de una proposición p como: ¬p,-p
El valor de verdad de la negación de una proposición fundamental depende de la condición siguiente:
Si p es verdadero, entonces ~p es falso:
si p es falso, entonces ~p es verdadero. Es decir el valor de verdad de la negación de una proposición fundamental es siempre opuesto del valor de verdad de la proposición.
EJEMPLOS
1.- Si p es la proposición «Alemania se encuentra en Europa», entonces la negación de p, ~p, será la proposición: «Es falso que Alemania se encuentre en Europa»
Es innegable que el valor de verdad para ~p es falso, pues la proposición p: «Alemania se encuentra en Europa» es verdadero.
También se pudo haber expresado la negación de p como:«Alemania no se encuentra en Europa».
2.- Si p es la proposición: «2 * 3 = 7», entonces ~p es la proposición: «2 * 3 /= 7», donde el valor de verdad de ~p es verdadero, pues p«2 * 3 = 7», es falso.
NOTA: Para la realización de esta entrada se tomo apoyo de esta página de Internet: http://www.angelfire.com/vamp/mily/trabajo.htm
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Esta tabla nos hace ver la definición de la conjunción:
TABLAS DE VERDAD
A partir de el conjunto original de proposiciones fundamentales se forma un nuevo conjunto, aceptando en él toda combinación de proposiciones del conjunto original, que se pueden formar empleando los conectivos lógicos ^, v, ~. Los elementos del último conjunto se le llaman proposiciones compuestas.
Dichas hipótesis se resumen y se generalizan por medio de lo que se llama una tabla de verdad
Se puede conocer el valor de verdad de una proposición, que contiene conectivos, determinando el valor de verdad de cada una de las componentes. A una proposición p se le asigna los valores V o F, escritos en este orden, debajo de la proposición p. Las tablas de verdad para los conectivos ~, v, ^ se verán a continuación.
Tabla de verdad para ~p.
Esta tabla hace referencia la definición de la negación, que dice: si el valor de verdad de p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso. Si el valor de verdad de p es falso, entonces el valor de verdad de ~p es verdadero.
Tabla de verdad para p v q.
En esta tabla se observa: Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos p y q son verdaderos, entonces p v q es verdadero; en otro caso p v q es falso. Es decir, la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa.
Tabla de verdad para p ^ q.
Esta tabla nos hace ver la definición de la conjunción:
Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es verdadero; en otro caso p ^ q es falso. Es decir, la conjunción de dos proposiciones es verdadera solamente si cada componente es verdadero.
GUIA PARA EXAMEN DE LA UNIDAD 2
TEMAS DE LA UNIDAD 2 PARA HACER EXAMEN
